Tautologi & Kontradiksi, Aljabar,
Logika dan Negasi Lingkaran
- Tautologi
Tautologi adalah pernyataan yang selalu
benar.
Contoh:
lRÚ(ØR)
lØ(PÙQ)«(ØP)Ú(ØQ)
Jika S®T suatu tautologi, kita
tulis SÞT.
Jika S«T suatu tautologi, kita
tulis SÛT.
- Tautologi dan Kontradiksi (2)
Kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai
salah.
Contoh:
lRÙ(ØR)
lØ(Ø(PÙQ)«(ØP)Ú(ØQ))
Negasi dari suatu tautologi
adalah suatu kontradiksi, negasi dari kontradiksi adalah suatu tautologi.
- Konversi, Kontrapositif, & Invers
lq ® p disebut konversi dari p ®
q
lØq ® Øp disebut kontrapositif
dari p ® q
lØp ® Øq disebut invers dari p ®
q
- Aljabar Logika
-
Pernyataan / Proposisi
Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai
kebenaran (benar atau salah), tetapi tidak keduanya.
Contoh 1 :
p = Tadi malam BBM mulai naik (memiliki nilai
kebenaran benar/true)
q = 23 = 32 (memiliki nilai kebenaran salah/false)
Contoh 2 :
Berikut ini adalah beberapa contoh proposisi :
a. 1 + 2 = 3
b. Presiden RI tahun 2005 adalah SBY
c. 6 adalah bilangan prima
d. Warna bendera RI adalah biru dan merah
Kalimat-kalimat di atas adalah kalimat proposisi karena dapat diketahui
benar/salahnya.
Kalimat (a) dan (b) bernilai benar, sedangkan kalimat
(c) dan (d) bernilai salah.
Contoh 3 :
Berikut ini adalah beberapa contoh kalimat yang bukan
merupakan proposisi :
a. Di manakah letak pulau seribu?
b. Ersa lebih tua dari Arsi
c. x + y = 5
d. 2 mencintai 3 Kalimat (a)
jelas bukan proposisi karena merupakan kalimat tanya sehingga tidak dapat ditentukan
nilai kebenarannya.
Kalimat (b) juga
bukan proposisi karena ada banyak orang dibumi ini yang bernama Ersa dan Arsi.
Kalimat tersebut tidak memberikan keterangan yang lebih spesifik sehingga tidak
diketahui kebenaran bahwa Ersa lebih tua dari Arsi.
Dalam kalimat
(c), nilai kebenaran kalimat tergantung pada harga x dan y yang ada. Jika x =1
dan y = 4, maka kalimat tersebut menjadi kalimat yang benar. Tetapi jika x = 4 dan
y = 5, maka kalimat tersebut menjadi kalimat yang salah. Jadi secara umum tidak
dapat ditentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah. Kalimat (e),
walaupun mempunyai susunan kalimat yang benar, tetapi tidak mempunyai arti karena
relasi mencintai tidak berlaku pada bilangan. Oleh karena itu, kalimat tersebut
tidak ditentukan benar atau salahnya. Suatu pernyataan yang selalu benar dalam
semua keadaan dinamakan tautologi , sedangkan pernyataan yang selalu salah
dalam semua keadaan dinamakan kontradiksi.
- NEGASI INGKARAN
Suatu kalimat akan
mempunyai niali kebenaran yang berlawanan dengan nilai kebenaran kalimat aslinya.
Jadi jika nilai p bernilai benar maka bernilai salah. Sebaliknya jika p
bernilai salah, maka akan bernilai benar.
Atomic/tunggal
Majemuk/compound
- konjungsi
- disjungsi
- implikasi/kondisional
- biimplikasi
Ø Konjungsi
Kalimat (dibaca “ p dan q”) akan bernilai benar jika
baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya bernilai salah (apalagi
keduanya) bernilai salah, maka bernilai salah.
-Tabel kebenaran dari Konjungsi
dapat dilihat pada Tabel 3.1 dibawah
ini :
|
P
1
1
0
0
|
Q
1
0
1
0
|
1
0
0
0
|
Tabel 3.1
Ø Disjungsi Kalimat (dibaca “p atau q”) akan bernilai
salah jika bail p maupun q bernilai salah. Secara umum, yang dimaksud dengan penghubung
“atau” adalah inclusive OR (kedua penyusun kalimat boleh bernilai benar). Tabel
kebenaran dari disjungsi dapat dilihat dibawah ini :
|
P
1
1
0
0
|
Q
1
0
1
0
|
1
0
0
0
|
Tabel 3.2
Contoh :
1. Dalam perayaan itu, tamu boleh menyumbang uang atau
barang
2. Saya akan melihat pertandingan itu di TV atau di
lapangan
Dalam kalimat (1),
keseluruhan kalimat tetap bernilai benar jika kedua kalimat penyusunnya benar.
Jadi, tamu
diperbolehkan menyumbang uang sekaligus barang. Sebaliknya, dalam kalimat (2), hanya
salah satu diantara kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar, tetapi tidak
keduanya. Keseluruhan kalimat akan bernilai jika saya melihat pertandingan itu
di TV saja, atau di lapangan saja, tetapi tidak keduanya. Kata penghubung “atau
(or)” dalam kalimat (1) disebut Inclusive OR, sedangkan dalam (b) disebut Exclusive
OR.
Ø Equivalen
Dua kalimat disebut
ekuivalen ( ) bila dan hanya bila keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama
untuk semua substitusi nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya. Atau
dengan kata lain, jika hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang
“selalu” sama.
Negasi dari konjungsi dan
disjungsi
p q
|
1
1
0
0
|
1
0
1
0
|
0
0
1
1
|
0
1
0
1
|
1
0
0
0
|
1
1
1
0
|
0
0
0
1
|
0
1
1
1
|
0
1
1
1
|
0
0
0
1
|
Tabel 3.3
Kesimpulan :
Ø Implikasi
Kalimat akan bernilai
salah kalau p benar dan q salah. p disebut hipotesis (anteseden) dan q disebut konklusi
(konsekuen). Kalimat berbentuk disebut kalimat berkondisi karena kebenaran
kalimat q tergantung pada kebenaran kalimat p. Tabel kebenaran untuk implikasi
adalah :
|
P
1
1
0
0
|
Q
1
0
1
0
|
1
0
1
1
|
Tabel 3.4
Contoh :
Apabila ada seorang pria yang berkata “jika besok
cerah, maka aku akan datang kerumahmu”.
p = “Besok cuaca cerah”
q = “aku akan datang ke rumahmu”.
Jika p maupun q keduanya
benar, maka akan bernilai benar. Jika p salah (ternyata keesokannya hujan lebat
atau cuaca tidak cerah), maka pria tersebut terbebas dari janjinya karena janji
tersebut bersyarat, yaitu kalau besok cerah. Jadi, baik pria tersebut datang
(berarti q bernilai benar) maupun tidak datang (q bernilai salah), ia tidak
akan disalahkan (bernilai benar). Akan tetapi, pria tersebut akan disalahkan apabila
keesokan harinya cuaca cerah (p bernilai benar) apabila keesokan harinya cuaca
cerah (p bernilai benar) tetapi ia tidak datang (q salah).
Pq
|
1
1
0
0
|
1
0
1
0
|
0
0
1
1
|
1
0
1
1
|
1
0
1
1
|
Tabel 3.5
Ø Biimplikasi dibaca p jika dan hanya jika q. .
bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar
atau salah. Tabel kebenaran untuk adalah :
pq
|
1
1
0
0
|
1
0
1
0
|
1
0
1
1
|
1
1
0
1
|
1
0
0
1
|
Tabel 3.6
jika :
Maka :
3.3 Membuat Kesimpulan
Ø Modus Ponens
Secara simbolik, modus ponens dapat
dinyatakan sebagai berikut : q (T)
Atau dapat ditulis .
Implikasi “bila
p maka q” yang disumsikan bernilai benar. Apabila selanjutnya diketahui bahwa anteseden
(p) benar, supaya implikasi benar, maka q juga harus bernilai benar. Inferensi
seperti itu disebut Modus Ponens. Tabel kebenaran untuk adalah :
p Q
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
0 1 1 0 1
0 0 1 0 1
Tabel 3.7
Ø Modus Tollens Secara simbolik, bentuk
inferensi Modus Tollens adalah sebagai berikut :
Contoh : Jika Zeus seorang manusia, maka ia dapat mati
Zeus tidak dapat mati Zeus bukan seorang manusia
Ø Sylogisme
sumber
Tidak ada komentar:
Posting Komentar