Matrix Relasi dan Diagram Panah, Relasi
Invers
Definisi Relasi adalah
himpunan bagian antara A(domain) dan B (kodomain) atau relasi yang memasangkan setiap elemen yang ada
pada himpunan A secara tunggal, dengan elemen yang pada B.
Macam
penyajian relasi :
- Penyajian Relasi dengan Diagram Panah
Misalkan A = {3,4,5} dan B
= {2,4}. Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan : (a , b) ∈ R
jika a faktor prima dari b maka relasi tersebut dapat digambarkan dengan
diagram panah
- Penyajian relasi dengan diagram cartesius
Diagram
Kartesius menggunakan pasangan koordinat horisontal- vertikal. Setiap titik mewakili ada tidaknya
hubungan A dan B, contoh :
- Penyajian Relasi berupa Pasangan Terurut
Contoh
relasi pada diagram panah dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut, yaitu
: R = {(3, 2), (4, 2), (5, 2), (5, 4)}
- Penyajian Relasi dengan Tabel
Kolom pertama tabel
menyatakandaerah asal,sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil
- Penyajian Relasi dengan Matriks
Relasi antara A = { a 1, a 2, …, a m} dan B = {b 1 , b
2 , …, b n }
Jenis-jenis
Relasi
- Relasi Invers
Misalkan R merupakan relasi dari himpunan A ke
himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan adalah relasi dari B ke A yang mengandung
semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam
notasi himpunan sbb ; R-1= {(b,a) : (a,b)R}
contoh:
A = {1,2,3} B = {x,y}
R = {(1,x), (1,y), (3,x)} relasi dari
A ke B
R-1= {(x,1), (y,1), (x,3)} relasi
invers dari B ke A
- Relasi Refleksif
Misalkan R = (A,
A, P(x,y)) suatu relasi. R disebut relasi refleksif, jika setiap A berlaku
(a,a)R. Dengan kata lain, R disebut relasi refleksif jika setiap anggota dalam A
berelasi dengan dirinya sendiri.
Contoh Relasi
Refleksif Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan R = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,2),
(4,4)} Apakah R relasi refleksif ? R
bukan relasi refleksif, sebab (2,2) tidak termasuk dalam R. Jika (2,2) termasuk
dalam R, yaitu R1= {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)} maka R1 merupakan
relasi refleksif.
- Relasi Simetrik
Misalkan R = (A,
B, P(x,y)) suatu relasi. R disebut relasi simetrik, jika setiap (a,b)R berlaku (b,a)R.
Dengan kata lain, R disebut relasi simetrik jika a R b berakibat b R a.
Contoh Relasi Simetrik: perhatikan satu per satu.
Setiap kali kamu menemukan pasangan, misalnya (a, b), maka cari apakah (b, a)
juga ada. Kalau ternyata tidak ada, pasti relasi itu tidak simetrik.
Apakah relasi dalam {1, 2, 3, 4} berikut simetrik?
Pembahasan:
{(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2,4), (1, 1), (3,
3), (2, 1)}
Relasi tersebut simetrik. Mari kita periksa satu per
satu. kita menemukan (1, 2). Berarti (2, 1) juga harus ada. Ternyata benar. {(1,
2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2, 4), (1, 1), (3, 3), (2,1)}
- Relasi anti Simetrik
Suatu relasi R disebut
relasi anti simetrik jika (a,b)R dan (b,a)R maka a=b.
Dengan kata lain Jika a, b A, a≠b, maka (a,b)R atau
(b,a)R, tetapi tidak kedua-duanya.
Contoh : Misalkan R suatu relasi dalam himpunan
bilangan asli yang didefinisikan “y habis dibagi oleh x”, maka R termasuk
relasi anti simetrik karena jika b habis dibagi a dan a habis dibagi b, maka a
= b.
Misalkan A = {1, 2, 3} dan R1= {(1,1), (2,1), (2,2),
(2,3), (3,2)}, maka R1bukan relasi anti simetrik, sebab (2,3)R1dan (3,2)R1 pula.
- Relasi Transitif
Misalkan R suatu relasi
dalam himpunan A. R disebut relasi transitif jika berlaku ; Jika (a,b)R dan
(b,c)R maka (a,c)R. Dengan kata lain Jika a berelasi dengan b dan b berelasi
dengan c, maka a berelasi dengan c.
Contoh : Misalkan A = {a, b, c} dan R = {(a,b), (a,c),
(b,a), (c,b)}, maka R bukan relasi transitif, sebab (b,a)R dan (a,c)R tetapi
(b,c)R.
Coba dilengkapi agar R menjadi relasi transitif lR =
{(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}
- Relasi Equivalen
Suatu relasi R dalam himpunan A disebut relasi
equivalen jika memenuhi ;
1.Sifat Refleksif
2.Sifat Simetrik
3.Sifat Transitif
Sumber :
Tidak ada komentar:
Posting Komentar