Operasi Antar Himpunan dan Diagram Venn

Operasi Antar Himpunan & Diagram Venn

A. PENGERTIAN

Himpunan (set) adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang di definisikan dengan jelas. Benda- benda atau obyek-obyek tersebut disebut ‘elemen’ atau ‘anggota himpunan’. Himpunan dinyatakan/dilambangkan dengan huruf besar,sedangkan elemen dari himpunan diberi lambang

B. CARA MENYATAKAN/MENULISKAN HIMPUNAN

1. Cara Pendaftaran/Tabulasi

Pada cara ini semua anggota himpunan dituliskan diantara dua kurawal.

Contoh : A = {Brunei,Malaysia,Indonesia,Philipina, Singapura,Thailand}

2. Cara Pencirian/Deskripsi

Contoh : Himpunan A pada contoh di atas dapat di tuliskan seperti A = {x│x = Negara anggota ASEAN}

C. JENIS-JENIS HIMPUNAN

1. Himpunan Semesta (Universal) adalah himpunan yang elemen- elemennya mencakup semesta pembicaraan. Dapat fenit maupun infenit.

2. Himpunan Komplementer adalah himpunan yang di luar suatu himpunan lain dan masih dalam lingkup semesta. Notasi : A atau A’ Atau Ā Di baca : bukan A atau komponen A Jika di gambarkan dengan diagram venn : Yang diarsir adalah A

3. Himpunan Bagian (Subset) adalah himpunan yang seluruh anggotanya menjadi anggota himpunan lain. Misalnya : A = { x│x bilangan asli } B = { x│x bilangan bulat }

4. Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Dilambangkan dengan ф atau { } Contoh : A = { x│x + x + 6 = 0 ,x bil. Real } ====> A = Himpunan kosong.

5. Himpunan Kuasa (Power Set) adalah himpunan yang anggota-anggotanya berasal dari semua himpunan bagian suatu himpunan.

Contoh : Jika A = { 1,2,3 } ,maka himpunan kuasa A (2 ) adalah : 2A = { [1],[2],[3].[1,2],[1,3],[2,3],[1,2,3],[   ] } Jika n (A) = n maka n (2 ) = 2

6. Himpunan Penyelesaian adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan jawaban dari suatu soal. Contoh : A = { x│x – 5x + 6 = 0 } himpunan penyelesaian : { 2,3 }

D. OPERASI HIMPUNAN

1. Gabungan (union) adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota- anggota himpunan asal.

2. Irisan (Interseksi) adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota-anggota kedua himpunan sekaligus. Jika di gambar dengan diagram venn,maka : Yang diarsir adalah A ∩ B

3. Selisih (Minus) A – B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota A tetapi tidak menjadi anggota B. Yang diarsir adalah A – B

Kemungkinan :

· A – B = sebagian dari A,jika A berpotongan dengan B

· A – B = A ,jika A saling asing dengan B

· A – B = { } ,jika A = B

4. Tambah (Plus) A + B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota gabungan dan tidak merupakan anggota irisan.

Diagram vennya : Yang diarsir adalah A + B

E. HUKUM-HUKUM DALAM HIMPUNAN

1. Komutatif

2. Asosiatif

3. Distributif

4. Absorbsi

5. Demorgan

6. Identitas

7. Komplemen

F. PENGGUNAAN DIAGRAM VENN

1. Menentukan daerah hasil suatu operasi himpunan

Contoh : Arsirlah operasi himpunan (A – B) ∩ C ,jika B,C,A dan B ∩ C ≠ Ø Jawab :

2. Menetukan hasil operasi himpunan yang diagramnya sudah diketahui.

Yang diarsir adalah : 1. (B∩ C) – A

2. A ∩ B ∩ C

3. Menentukan banyaknya anggota himpunan.

Cara : a. Gunakan diagram venn ,atau

  b. gunakan rumus- rumus :

Contoh : Dari 30 orang terdapat 20 orang yang senang matematika,15 orang senang biologi dan 10 orang senang kedua-duanya. Berapakah yang tidak senang kedua-duanya.

Jawab : 30 = 10 + 5 + x + 10 è x = 5 Jadi yang tidak senang kedua-duanya adalah 5 orang.

Bilangan Bulat & Bilangan Riil

• Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan asli ( 1, 2, 3, …), bentuk negatif nya (-1, -2, -3, …) dan bilangan nol. Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Jika ditinjau dari segi nama, bilangan bulat pasti sesuatu yang bulat. Maksudnya bilangan ini adalah bilangan utuh. Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z, berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk “bilangan”).

-          Sifat-sifat

Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.

Contoh: 2 x 3 akan menghasilkan 6 dimana 2 adalah bilangan bulat, 3 adalah bilangan bulat dan 6 adalah bilangan bulat. 2 – 3 akan menghasilkan -1 dengan -1 adalah bilangan bulat negative 2 + 3 akan menghasilkan 5 dengan 5 adalah bilangan bulat positif sedangkan 2 / 3 akan menghasilkan 0,67 dimana 0,67 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli. Bisa juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh: 4 / 2 akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan bulat.

Bilangan bulat sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman Bilangan bulat (integer) merupakan salah satu tipe data dasar dalam berbagai bahasa pemrograman. Contohnya dalam bahasa Pascal terdapat tipe data bernama integer. Dalam alokasi memori, integer memerlukan 2 byte (16 bit) data di memori yang artinya dapat menampung nilai hingga 2^16. Namun karena integer didefinisikan sebagai type data signed tipe data integer hanya mampu di-assign nilai antara -32768 sampai 32767. Apa itu signed? Signed maksudnya bilangan tersebut memiliki tanda. Sebagaimana tanda – atau + didepan bilangan yang menunjukkan nilai negatif atau positif. Lalu kenapa hanya bisa menampung nilai antara -32768 hingga 32768 saja? Hal ini disebabkan karena 1 bit digunakan sebagai penanda positif/negatif. Meskipun memiliki istilah yang sama, tetapi tipe data integer pada bahasa pemrograman Visual Basic .NET, Delphi, dan Bahasa D memiliki ukuran 4 byte atau 32 bit signed sehingga dapat di-assign nilai antara -2,147,483,648 hingga 2,147,483,647.

• Bilangan Riil

Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan decimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah / scientific notation bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Okelah kita nggak usah meributkan perbedaan itu. Yang penting kita tahu dan mengerti maksud dari bilangan riil. Bilangan real merupakan gabungan bilangan rasional , seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional , seperti π dan akar2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional , irisan Dedekind, dan deret Archimides.

Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (pasti udah bisa nebak, simbol R berasal dari kata “Real”).

-          Sifat-sifat

Himpunan R tertutup untuk semua operasi. Artinya bilangan riil yang dioperasikan akan menghasilkan bilangan riil juga Contoh: 2,5 x 3,7 akan menghasilkan 9,25 dimana 2,5 adalah bilangan riil, 3.7 adalah bilangan riil dan 9,25 adalah bilangan riil. 2,5 – 3,7 akan menghasilkan -1,2 dengan -1,2 adalah bilangan riil negatif (dalam kasus 2,5 – 3,5 dihasilkan nilai -1,0) 2,5 + 3,7 akan menghasilkan 6,2 dengan 6,2 adalah bilangan riil positif 2,5 / 3,7 akan menghasilkan 0,675 dimana 0,675 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli. Bisa juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh: 4 / 2 akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan bulat.

Bilangan riil sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman Bilangan riil (real atau floating point) merupakan salah satu tipe data dasar dalam berbagai bahasa pemrograman. Contohnya dalam bahasa Pascal terdapat tipe data bernama real . Dalam alokasi memori, real memerlukan 6 byte (48 bit) data di memori. Namun karena real “juga” didefinisikan sebagai type data signed tipe data real hanya mampu di-assign nilai antara 2.9 x 10^-39 s/d 1.7 x10^38 .