Logika

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari system pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta ,matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.

• Hukum logika

1. Hukum komutatif

p ∧ q ≡ q ∧ p

p ∨ q ≡ q ∨ p

2. Hukum asosiatif

(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

3. Hukum distributif

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p

∧ r)

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p

∨ r)

4. Hukum identitas

p ∧ B ≡ p

p ∨ S ≡ p

5. Hukum ikatan

p ∧ S ≡ S

p ∨ B ≡ B

6. Hukum negasi

p ∧ ~p ≡ S

p ∨ ~p ≡ B

7. Hukum negasi ganda

~(~p) ≡ p

8. Hukum idempotent

p ∧ p ≡ p

p ∨ p ≡ p

9. Hukum De Morgan

~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q

10. Hukum penyerapan

p ∧ (p ∨ q) ≡ p

p ∨ (p ∧ q) ≡ p

11. Negasi B dan S

~B ≡ S

~S ≡ B

http://id.m.wikipedia.org/wiki/Logika_matematika

Tautologi & Kontradiksi, Aljabar, Logika dan Negasi Lingkaran

Tautologi & Kontradiksi, Aljabar, Logika dan Negasi Lingkaran

• Tautologi

Tautologi adalah pernyataan yang selalu benar.

Contoh:

lRÚ(ØR)

lØ(PÙQ)«(ØP)Ú(ØQ)

Jika S®T suatu tautologi, kita tulis SÞT.

Jika S«T suatu tautologi, kita tulis SÛT.

• Tautologi dan Kontradiksi (2)

Kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah.

Contoh:

lRÙ(ØR)

lØ(Ø(PÙQ)«(ØP)Ú(ØQ))

Negasi dari suatu tautologi adalah suatu kontradiksi, negasi dari kontradiksi adalah suatu tautologi.

• Konversi, Kontrapositif, & Invers

lq ® p disebut konversi dari p ® q

lØq ® Øp disebut kontrapositif dari p ® q

lØp ® Øq disebut invers dari p ® q

• Aljabar Logika

-          Pernyataan / Proposisi

Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah), tetapi tidak keduanya.

Contoh 1 :

p = Tadi malam BBM mulai naik (memiliki nilai kebenaran benar/true)

q = 23 = 32 (memiliki nilai kebenaran salah/false)

Contoh 2 :

Berikut ini adalah beberapa contoh proposisi :

a. 1 + 2 = 3

b. Presiden RI tahun 2005 adalah SBY

c. 6 adalah bilangan prima

d. Warna bendera RI adalah biru dan merah Kalimat-kalimat di atas adalah kalimat proposisi karena dapat diketahui benar/salahnya.

Kalimat (a) dan (b) bernilai benar, sedangkan kalimat (c) dan (d) bernilai salah.

Contoh 3 :

Berikut ini adalah beberapa contoh kalimat yang bukan merupakan proposisi :

a. Di manakah letak pulau seribu?

b. Ersa lebih tua dari Arsi

c. x + y = 5

d. 2 mencintai 3 Kalimat (a) jelas bukan proposisi karena merupakan kalimat tanya sehingga tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya.

Kalimat (b) juga bukan proposisi karena ada banyak orang dibumi ini yang bernama Ersa dan Arsi. Kalimat tersebut tidak memberikan keterangan yang lebih spesifik sehingga tidak diketahui kebenaran bahwa Ersa lebih tua dari Arsi.

Dalam kalimat (c), nilai kebenaran kalimat tergantung pada harga x dan y yang ada. Jika x =1 dan y = 4, maka kalimat tersebut menjadi kalimat yang benar. Tetapi jika x = 4 dan y = 5, maka kalimat tersebut menjadi kalimat yang salah. Jadi secara umum tidak dapat ditentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah. Kalimat (e), walaupun mempunyai susunan kalimat yang benar, tetapi tidak mempunyai arti karena relasi mencintai tidak berlaku pada bilangan. Oleh karena itu, kalimat tersebut tidak ditentukan benar atau salahnya. Suatu pernyataan yang selalu benar dalam semua keadaan dinamakan tautologi , sedangkan pernyataan yang selalu salah dalam semua keadaan dinamakan kontradiksi.

• NEGASI INGKARAN

Suatu kalimat akan mempunyai niali kebenaran yang berlawanan dengan nilai kebenaran kalimat aslinya. Jadi jika nilai p bernilai benar maka bernilai salah. Sebaliknya jika p bernilai salah, maka akan bernilai benar.

Atomic/tunggal

Majemuk/compound

- konjungsi

- disjungsi

- implikasi/kondisional

- biimplikasi

Ø Konjungsi

Kalimat (dibaca “ p dan q”) akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya bernilai salah (apalagi keduanya) bernilai salah, maka bernilai salah.

-Tabel kebenaran dari Konjungsi

dapat dilihat pada Tabel 3.1 dibawah ini :

P 1 1 0 0

Q 1 0 1 0

1 0 0 0

Tabel 3.1

Ø Disjungsi Kalimat (dibaca “p atau q”) akan bernilai salah jika bail p maupun q bernilai salah. Secara umum, yang dimaksud dengan penghubung “atau” adalah inclusive OR (kedua penyusun kalimat boleh bernilai benar). Tabel kebenaran dari disjungsi dapat dilihat dibawah ini :   

P 1 1 0 0

Q 1 0 1 0

1 0 0 0

Tabel 3.2

Contoh :

1. Dalam perayaan itu, tamu boleh menyumbang uang atau barang

2. Saya akan melihat pertandingan itu di TV atau di lapangan

Dalam kalimat (1), keseluruhan kalimat tetap bernilai benar jika kedua kalimat penyusunnya benar.

Jadi, tamu diperbolehkan menyumbang uang sekaligus barang. Sebaliknya, dalam kalimat (2), hanya salah satu diantara kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar, tetapi tidak keduanya. Keseluruhan kalimat akan bernilai jika saya melihat pertandingan itu di TV saja, atau di lapangan saja, tetapi tidak keduanya. Kata penghubung “atau (or)” dalam kalimat (1) disebut Inclusive OR, sedangkan dalam (b) disebut Exclusive OR.

Ø Equivalen

Dua kalimat disebut ekuivalen ( ) bila dan hanya bila keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya. Atau dengan kata lain, jika hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang “selalu” sama.

Negasi dari konjungsi dan disjungsi

p q

1 1 0 0

1 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 0 0

1 1 1 0

0 0 0 1

0 1 1 1

0 1 1 1

0 0 0 1

Tabel 3.3

Kesimpulan :

Ø Implikasi

Kalimat akan bernilai salah kalau p benar dan q salah. p disebut hipotesis (anteseden) dan q disebut konklusi (konsekuen). Kalimat berbentuk disebut kalimat berkondisi karena kebenaran kalimat q tergantung pada kebenaran kalimat p. Tabel kebenaran untuk implikasi adalah :

P 1 1 0 0

Q 1 0 1 0

1 0 1 1

Tabel 3.4

Contoh :

Apabila ada seorang pria yang berkata “jika besok cerah, maka aku akan datang kerumahmu”.

p = “Besok cuaca cerah”

q = “aku akan datang ke rumahmu”.

Jika p maupun q keduanya benar, maka akan bernilai benar. Jika p salah (ternyata keesokannya hujan lebat atau cuaca tidak cerah), maka pria tersebut terbebas dari janjinya karena janji tersebut bersyarat, yaitu kalau besok cerah. Jadi, baik pria tersebut datang (berarti q bernilai benar) maupun tidak datang (q bernilai salah), ia tidak akan disalahkan (bernilai benar). Akan tetapi, pria tersebut akan disalahkan apabila keesokan harinya cuaca cerah (p bernilai benar) apabila keesokan harinya cuaca cerah (p bernilai benar) tetapi ia tidak datang (q salah).

Pq

1 1 0 0

1 0 1 0

0 0 1 1

1 0 1 1

1 0 1 1

Tabel 3.5

Ø Biimplikasi dibaca p jika dan hanya jika q. .

bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar atau salah. Tabel kebenaran untuk adalah :

pq

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 0 0 1

Tabel 3.6

jika :

Maka :

3.3 Membuat Kesimpulan

Ø Modus Ponens

Secara simbolik, modus ponens dapat dinyatakan sebagai berikut : q (T)

Atau dapat ditulis .

Implikasi “bila p maka q” yang disumsikan bernilai benar. Apabila selanjutnya diketahui bahwa anteseden (p) benar, supaya implikasi benar, maka q juga harus bernilai benar. Inferensi seperti itu disebut Modus Ponens. Tabel kebenaran untuk adalah :

p Q

1 1 1 1 1

1 0 0 0 1

0 1 1 0 1

0 0 1 0 1

Tabel 3.7

Ø Modus Tollens Secara simbolik, bentuk inferensi Modus Tollens adalah sebagai berikut :

Contoh : Jika Zeus seorang manusia, maka ia dapat mati Zeus tidak dapat mati Zeus bukan seorang manusia

Ø Sylogisme

sumber 

http://trisofiya.wordpress.com/2013/07/14/tugas-matematika-iad-tautologi-kontradiksi-aljabar-logika-dan-negasi-lingkaran/

Fungsi

FUNGSI

• Fungsi

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain ). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah " fungsi", "pemetaan ", "peta ", "transformasi ", dan "operator " biasanya dipakai secara sinonim .

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil . Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y =f (2x ), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

• Notasi

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut. Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f  yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B . Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain atau

• Fungsi sebagai relasi

Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

• Domain dan Kodomain

Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f , Y merupakan kodomain.

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil

Ø  Sifat-sifat fungsi

• Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a 1 dan a 2 dengan a 1 tidak sama dengan a2 berlaku f( a1 ) tidak sama dengan f( a2 ). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f( a1 ) sama dengan f(a 2 ).

• Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a ) = b . Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

• Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f( a) = b , dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B . Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

http://www.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)

DOMAIN, KODOMAIN, DAN RANGE

• Pengertian Domain, Kodomain, Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil. contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 } Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan "setengah dari ". Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q. Dari fungsi di atas maka :

-          Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

-          Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

-          Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Note:

Domain, Kodomain, dan Range

a. Domain adalah daerah kawan

b. Kodomain adalah daerah kawan

c. Range adalah daerah hasil dari himpunan bagian dari kodomain.

Sumber :

http://irmasusandar.blogspot.com/2013/07/fungsi-domain-kodomain-dan-range.html?m=1